Die API kannst du vermutlich nicht direkt mit einem Formular kombinieren.
Man packt dazwischen ein kleines Script, welches vermittelt (zwischen Eingabe und API)

Zuerst machst du ganz gewöhnlich ein Formular. Hier werden Daten abgefragt und eventuell ein Captcha angezeigt. Ich glaube das ist kein Problem für dich, oder?
Die Daten des Formulars würdest du dann an ein Script senden. Eine klassische Wahl wäre hier z. B. PHP.
Dort müsstest du eventuell das Captcha überprüfen oder andere Beschränkungen einbauen (Benutzernamen verbieten? Häufige Anmeldungen mit der selben IP? Angegebene Daten plausibel/korrekt? Passwort komplex genug? ...). Wenn die Daten so weit passen dann sendest du die Daten an die API, so wie die das möchte (als JSON Objekt mit den Daten, wie im Beispiel).

Kannst du denn PHP oder eine andere Sprache, die im Bereich der Webentwicklung nützlich wäre?