Meine Idee war jetzt, dass ich bei contabo (ist auch mein derzeitiger provider) das Webspace Paket nehme, bei dem ich die Wordpress 1 Klick installation nutzen kann, also "managed wordpress".
Kenne die genaue Situation bei Contabo nicht, aber One-Click-Installation ist in der Regel dann nicht automatisch "managed".

[10-Jul-2017 06:34:17 UTC] PHP Warning: is_dir(): open_basedir restriction in effect. File(/) is not within the allowed path(s): (/home:/home4:/usr/lib/php:/usr/local/lib/php:/tmp) in /home/kd29314/public_html/wp-includes/functions.php on line 1613
Dem Fehler kann ich entnehmen, dass deine Wordpress-Installation auf den Pfad "/" zugreifen möchte um ein Verzeichnis anzulegen. Instinktiv würde ich behaupten, dass eventuell irgendwo ein Pfad falsch konfiguriert ist. Vermutlich hat es irgendetwas mit einem Plugin/Theme zu tun.

Insgesamt glaube ich also, dass der Umzug vermutlich nicht die Lösung ist (mutmaßlich nicht managed und Fehler in Themes/Plugins, die du ja wieder nutzen wollen würdest).
Zur weiteren Diagnose fallen mir zwei Dinge ein.

Möglichkeit 1: Um die problematisches Stellen zu identifizieren Theme wechseln (eventuell hilft das schon und du siehst, dass es am Theme liegt). Sollte das nicht helfen, dann kannst du alle Plugins deaktivieren und nach und nach aktivieren und schauen, ob dein Problem zurückkehrt.

Möglichkeit 2: Die Zeile "debug_print_backtrace();" einfügen vor Zeile 1613 in der "wp-includes/functions.php". Dadurch lässt sich identifizieren wer für den Aufruf verantwortlich ist.

Das würde ich zumindest probieren. Wenn du natürlich einfach weiterhin umziehen möchtest: Aktuelle Wordpress-Versionen haben eine entsprechende Option um Medien zu exportieren. Alternativ kann man das glaube ich mit dem Plugin "WP Attachment Export" nachrüsten. In der XML die du aktuell hast sind vermutlich nur Refernzen zu den Bildern (dazu müssten glaube ich beide Blogs online sein)