Ob die das vor Ort prüfen weiß ich nicht, hatte Gott sei Dank noch nie etwas mit dem Arbeitsamt oder Jobcenter zutun. Interessant dürfte nur die aktuelle Wohnung sein, und auch wenn die auf eurer beiden Namen läuft muss das ja nicht direkt auf eine Beziehung deuten.
Die Kontoauszüge der letzten 3 Monate musst du aber auf jeden Fall bei deinem ALG II Antrag mit einreichen.

Und wenn alles nichts hilft, eine Abschlussfremde Arbeit suchen.