Der Unterzeichner muss kündigungsberechtigt sein, das können Geschäftsführer und/oder Prokuristen sein, dann gelten sie Zeichnungsregeln, die im Handelsregister dokumentiert sind.

Oder der Unterzeichner*in hat eine schriftliche Kündigungsvollmacht, die sollte dann bei der Kündigung beiliegen. Es gibt dazu aich Urteil, hier sind es leitende Angestellte gewesen und keine Bürokraft:

https://www.bag-urteil.com/25-09-2014-2-azr-567-13/

Wenn es eine ordentliche Kündigung ist, dann nimm dir eine Woche vor Ablauf der Kündigungsfrist einen Arbeitsrechtsanwalt und fechte die Kündigung an, das wird wohl klappen, wenn alle Informationen sind, wie du geschildert hast. Mit der kurzen Zeit bis zum Ende der Kündigungsfrist wird es dem AG nicht möglich sein, fristgerecht eine neue Kündigung zu schicken und du wirst erstmal weiterbezahlt. Auch wenn in der Kündigung der Passus "hilfsweise zum nächstmöglichen Termin" steht, ist das in dem Fall auch hinfällig, eben weil keine zeichnungsberechtigte Person unterschrieben hat.