In diesem Fall würde man vermutlich versuchen den Online-Stream mitzuschneiden.
Wie genau das geht hängt vom Stream-Format ab (gibt es nur einen Web-Player oder auch eine URL für den direkten Zugriff?). Was genau hast du damit vor bzw. ergeben sich aus dem Vorhaben noch Anforderungen zur Form in der gespeichert werden soll?
Die Hardware sollte wenig Strom fressen, Internet besitzen und so ca. 5-11 GB pro Tag an Speicher zur Verfügung haben.
Abhängig von den Antworten auf die Fragen oben könnte dafür dann womöglich Kleincomputer (Raspberry Pi) oder ein altes Handy genügen.